OcioCiencia 0.6

“Los números reales son menos reales que los complejos, y los números complejos son más sencillos que los reales” (Un profe mío)

Una frase muy popular de Leopold Kronecker es “Dios hizo los números enteros, el resto es obra del hombre”. Bueno, yo no iría tan lejos. Como se puede intuir, el asunto hoy va de los números. Llevamos muchos años con ellos, nos indican nuestra fecha de nacimiento, nuestra medida del tiempo y del espacio, nuestra edad, nuestros ingresos (a veces en rojo), también... nuestro récord en el Tetris. En fin, sabemos quienes son, pero no qué son. Hoy, los números, esos grandes desconocidos.

Cuando se menciona números a nuestra mente acuden los naturales: 1, 2, 3, 4... En el cole los dimos en Cálculo, una palabra que también se usa para nombrar las piedrecitas del riñón (cálculos renais). Esta coincidencia no es casual: antiguamente los pastores usaban piedrecitas para contar el rebaño a la hora de guardarlo con la idea de que “si me sobra una piedrecita, me falta una ovejita”. Este profundo razonamiento se conoce matemáticamente como, y no reirse, Teorema de la Huevera. En España, como a la tortilla, le echamos muchos huevos a todo. Pero en el inglés original tampoco queda mejor con ese Pigeonhole Principle (Principio del Agujero del Pichón). Qué de curiosidades, y estábamos hablando de números, ¿eh? ¡Después los padres dicen que con OcioCiencia no se aprende nada!

Ni mucho menos los números se acaban en los naturales. Lo siento, pero no me puedo resistir a soltarlo de golpe: si añadimos los negativos y el cero tenemos los enteros, de cocientes de enteros tenemos los racionales, que junto a los irracionales (decimales no fraccionarios) nos dan los números reales, y éstos sumados a una parte imaginaria nos dan los complejos. ¡Ya tá! Pero podría seguir añadiendo los cuaterniones de mi primo Hamilton (nada que ver con el piloto de McLata). E incluso podemos añadir los números infinitos y transfinitos. ¡Y sigue habiendo más tipos! Los hay perfectos como el 496, y fundamentales como los famosos pi y e recogidos en la relación de Euler o la de Hamill. También los hay narcisistas como 153, otros son primos, como el 7 ó el 19, y hay algunos que sólo salen de noche como el 2187, que es un número vampiro.

Incluso algunos números son coleguitas, como 220 y 284, vistos jugando a la petanca hace mucho por los pitagóricos. La amistad en el mundo de los números se observa mirándoles los divisores. Si la suma de los divisores de un número nos da el otro, y viceversa, esos números son amigos. Aquí la prueba:

Durante unos dos mil años no se vieron más amigos. Entonces llegó Fermat, que se topó con dos números yendo al teatro: 17296 y 18416. Uf, ¿cómo dio con ellos? Ni idea, iría también al teatro. Desde luego esto prueba que Fermat sea considerado el matemático aficionado más grande de la historia.

Así que ya sabéis, para ver si alguien es amigo vuestro o no, fijáos en sus divisores. Y cuidado con vuestros primos: un resultado inmediato es que ningún primo es amigo de nadie (sólo es divisible por él y por 1, pero lo normal será que 1 no le tenga como divisor). Y siguiendo en esta línea de fructuosa investigación, podemos ver que el 1 es muy amigo de sí mismo, mientras que el 0 no se tiene mucho amor propio.

Como se observa, no es muy común ver números amigos. La verdad es que los números son muy suyos, por eso siempre marginan al cero, que se le suele ver muy solito. Mi impresión es que es pura envidia. En realidad, el cero es el número más especial de todos, es el único exigible explícitamente para muchas propiedades, y es capaz de fastidiar estructuras algebraicas o bien convertirse en ellas, como es el caso de un espacio vectorial (aunque sea un caso poco interesante). Pero, chicos, por muy especial que sea, ¡nada de eso excusa un cerapio en un examen, cuidao!

Con ese último grito a los cuatro vientos, me dejo de preámbulos y voy con las dudas. Nuevamente se embarca el pirata Akhul, y a la tercera va la vencida.

¿Qué tipo de cifras usaban los griegos?

Serán cosas mías, pero se atisban ganas de poner el dedo en la llaga. Dije que me sería difícil hablar de los griegos sin bromear con su yogurt, y ahí estamos, directo a la yugular, je. Uno se hace cargo. Desde el siglo VII antes de Cristiano Ronaldo, quiero decir, antes de Cristo, los griegos usaban letras de su alfabeto en lo que se conoce como el sistema ático o acrofónico. Este sistema de numeración es muy similar al romano. De hecho, los romanos lo usaron como modelo para el suyo, que resultó más torpón. Y no fue lo único que copiaron de los griegos, no, demostraron tener buen gusto con la mitología. Ah, y el yogurt griego está riquísimo.

A partir del siglo IV a. C. empezaron a usar el sistema alfabético o jónico con el que asignan una letra a cada cifra de uno a nueve, otra a las decenas (diez, veinte... hasta noventa) y otra a las centenas. Si somos avispaos veremos que esto requiere 9 cifras por cada unidad, decena y centena, con lo que el total es de 9x3 = 27 letras. Algunas de ellas son la digamma para el seis, iota para el uno o delta para el diez. Así, el 11 se escribe como (delta)(iota). ¿Os imagináis la lotería dicha así? “(alfa)(delta)(tango), retirada de efectivos”. Para representar números entre mil y un millón se vuelven a usar las mismas letras añadiendo una coma.

Pero ahora viene lo salao. ¿Cuál es tu número prefe? Vamos, piensa un número del 1 al 10 que vamos a ver el significado de cada uno para los griegos, que son tan místicos... Y hacen un yogurt tan rico... ¿Ya lo tienes? Bueno, ahí van: el 1 es la razón y el fuego. El 2 es la opinión, porque admite disparidad, y símbolo de la mujer. El 3 es la santidad y la masculinidad, y la cantidad de cerditos que huían del lobo. El 4 es la justicia al ser un igual por otro igual (2 x 2). El 5 es el matrimonio (3 + 2, el hombre más la mujer). Entonces el 1 debería ser el divorcio, ¿no? 1 = 3 - 2. Olvidadlo, se me ha ido. De forma similar, el 6 es la reproducción (3 x 2). El 7 es la salud, el Sol y el número de samuráis de Kurosawa. El 8 es mi prefe, y en vez de ser algo chulo es el amor y la amistad. Ay, qué fresa... El 9, la justicia por ser producto de igual por igual (3 x 3) y el 10 es el número perfecto, suma de los cuatro primeros (1 + 2 + 3 + 4). Todo esto fue bonito hasta que llegaron los pitagóricos con los números irracionales, que resultan inconmensurables y se les trató como una aberración. En Esparta tener como número prefe a un irracional era una deshonra superior a volver vencido de un combate. Qué crueles, ¡los irracionales también tienen sentimientos!

¿Y el resto de las culturas?

Empezamos por la árabe, cuyos números son los más utilizados hoy día. Originalmente estos números fueron una invención de la India que luego los árabes de la antigüedad (nada que ver con los de ahora) introdujeron en Europa. Con eso y con la imprenta causaron furor. Y es que el sistema decimal incluye uno de los descubrimientos más grandes de la historia junto al papel de aluminio: el cero. Puede parecer un poco chorra, pero concebir el cero, darle su expresión, incluirlo en un sistema numérico tiene un enorme acierto. Quizás se piense que no es gran cosa, porque el cero vale nada, ¡y ahí está el mérito! El cero no se puede contar, pero es un valor numérico. En los detalles es donde se ve la calidad. Y en las distancias cortas un hombre se la juega.

Estoy seguro de que cualquier hacker se bebe esto, pero me veo obligado a detallarlo: en este sistema el primer dígito desde la derecha vale su símbolo por 10 elevado a 0, que es 1 (o sea, vale lo que diga su símbolo sin más). El siguiente dígito a su izquierda vale su símbolo por 10 elevado a 1, que es 10. Así hasta cansarnos, que en latín es ad nauseam. Para muestra un botón tón tón del señor Martín tín tín:

Cruzamos el charco y nos vamos a visitar a los mayas, que descubrieron el cero antes que los indios, aunque lo usaron en un sistema para medir el tiempo y no para hacer calculotes. Aquí las cantidades tienen que ver con los días, meses y años de su calendario, y van agrupadas de 20 en 20 con lo que es un sistema vigesimal o de base 20. Los mayas usaban tres simbolitos que tranquilamente podrían estar inscritos en el Anillo Único: el punto para el uno, la raya horizontal para el cinco y el caracol (a mí no me lo parece) para el cero. Con esto, dos, tres, y cuatro puntos representan al dos, al tres y al cuatro, respectivamente, mientras que para el diez usaban dos rayas (siempre sin repetir el punto más de cuatro veces ni la raya más de tres).

Algunas inscripciones halladas por el aventurero de turno muestran sumas tan extensas que representarlas toma varias líneas. No se qué más dijo de una calavera de cristal. Con tanto escribir y calcular no es raro que los mayas llegaran a hacer observaciones astronómicas tan precisas que acabasen justificando guiones para pelis de Mel Gibson.

Además de este tenían otro sistema de numeración que nos trae de cabeza y se llama... “de cabezas”. Este podría considerarse análogo a nuestro sistema actual, formándose con una sucesión de catorce jeroglíficos a base de cabezas humanas con diferentes rasgos como maxilares y demás. ¿No iba de eso El Guerrero Número 13? Que sí, los nórdicos asustados porque los wendol se llevaban las cabezas de sus víctimas y en verdad era que querían saber cuántos días tenía el mes. Ah, que los wendol no eran mayas.

Volvemos al viejo continente. Respecto a los babilonios, empleaban un sistema sexagesimal o de base 60 adaptado de los sumerios. Y estaréis pensando que de sumerios viene suma, ¿eh? Je, je, qué listos sois. ¡Nada que ver! Ea, seguimos. Los babilonios escribían los números sobre unas tablas de arcilla usando una aguja y luego las ponían a secar al Sol, y si te equivocaste no hay típex. ¡¡¡LoL!!! Aunque parezca complicado manejar un sistema en base 60, los habitantes de lo que una vez fue Babel alcanzaron grandes adelantos gracias a esto, y en un futuro alternativo se convertirían en Babylon-5. Sin ir más lejos, hoy medimos el tiempo tomando como referencia su sistema: 60 segundos son 1 minuto y 1 horilla son 60 minutejos.

Los chinos en la actualidad usan tres sistemas: el que usamos hoy (introducido durante las dinastías Ming y Qing) y otros dos de cosecha propia lleno de “la sabidulía del dlagón”. De esos dos, el sistema Hua Ma es el más sencillo e interesante. Se trata de la única adaptación que tuvo el sistema numérico de cañas, en el que no se bebían birras sino que representaban los números de forma similar a como se hace en el ábaco. Principalmente el Hua Ma se usa en mercados más allá de la Gran Muralla. Qué lío, ¿y Willy Fogg no tenía problemas con esto?

Ahora bien, para representar los números por escrito usan dos tipos de caracteres tan milenarios como flol del almendlo. Uno, el dàxie, se usa para las finanzas y el otro se usa para... cualquier cosa que no sea finanzas. En China, así bote pronto, hacen dos cosas raras: la primera es que comen con palos y la segunda es que suelen omitir el primer uno de los números entre 11 y 19. Además, para números mayores agrupan las cifras de cuatro en cuatro en vez de tres en tres como hacemos nosotros. Por ejemplo, el 3.487.512 para ellos es el 348,7512. Entre tanta sabiduría algo se preserva: el cero se representa con un círculo.

Por boca de Boris Karloff sabemos que en el sistema de numeración egipcio los números se representan con jeroglíficos, como no podía ser de otra forma. Cuando sólo faltaban unos 3.000 años para que naciese Jesucristo, ya podían hacer gran cantidad de cálculos, algunos tan grandes como para saber cuántos ladrillos poner en una pirámide y otros tan pequeños como para saber cuánta arena tiene el Desierto Blanco (a lo mejor exagero). ¡Todo esto gracias a las fracciones del Ojo de Horus! ¡Ah, salgamos de esta cripta!

En concreto, a orillas del Nilo usaban un sistema decimal basado en la subdivisión del año (por cada dios un mes, para que no se peleen). Un signo jeroglífico era asignado a cada cifra del uno al diez y otros específicos para cien, mil, diez mil, cien mil y un millón. Aquí están muy majos:

Como cabe esperar, esta escritura apenas fue empleada por Nefertiti y sus amigos. Imaginaos que váis al mercado y queréis 10 manzanas, 8 lechugas y 3 piñas. Es más rápido cogerlas, pagarlas y cocinarlas que escribir en un papiro los pertinentes simbolitos. No obstante, la mayor parte de los textos administrativos estaban escritos con la notación hierática, como el papiro de Abusir. Dicha notación emplea de forma similar a como hacían los griegos (o más bien, a como harán los griegos) signos para las unidades, decenas, centenas y millares. Para el reintegro no. Así, el 9328 se podría escribir con sólo cuatro signos en vez de 36 jeroglíficos, que ya es un cómic.

Al final la escritura hierática degeneró en la escritura demótica, donde incluso se cambiaba la orientación de las figuras. Si en el dibujito del monigote los pies estaban apuntando a la escritura significaba que se estaba sumando, y al contrario restando, en serio. Tanta simpleza contrasta con el hecho de que utilizaban las fracciones de forma torpe: ponían 1/5 + 1/5 + l/5 en vez de 3/5. Esto fue así hasta que Octavio le dio la del pulpo a Marco Antonio y Egipto pasó a ser del Imperium Romanum. Ave César, ¡los que van a sumar te saludan!

Y llegamos así al otro gran sistema conocido (aparte del árabe): el sistema de numeración romano, donde se usan letras para representar los números, salvo el cero que no lo conocían. Básicamente es

Decían que el V denotaba una mano (5 dedos) y que la X era por dos V, una invertida (5 y 5 son 10), pero yo no lo tengo muy claro, a mí todo eso me pilló cuando hacía la instrucción para ser pretoriano. En cualquier caso, esas letras se combinan para describir otras cantidades. Basta colocar un valor menor detrás de uno mayor para sumar o ponerlo delante para restar, con lo que para poner cuatro se escribe IV en vez de IIII, que es más cutre. Para números mayores que 4000 se coloca una línea horizontal encima, indicando así que la multiplicación es por 1000. Por ejemplo, ¿cuánto cobra un legionario? VII (7) sestercios. No, IX (9). ¿Ah sí? Pues que sean MCDXLV (1445) sestercios.

Ya que hemos hablado de que IV es lo correcto y no IIII, como curiosidad decir que el mundo es muy grande, y los números romanos se han usado durante muchos siglos (incluso aún), así que era cuestión de tiempo que alguien la metiera doblada. Pasó que un relojero hizo un reloj a su rey, pero puso el dichoso IIII. El monarca, indignado con los palotes, le hizo ejecutar.¡Algunos no tienen sentido del humor! Desde entonces como protesta/homenaje todos los relojeros usan IIII en vez de IV. Ésa es la historia friki, otra versión dice que como al rey Luis XIV le molaba más el IIII ordenó a sus relojeros escribirlo de esa forma. Muy caprichoso, pero nunca le vimos como Luis XIIII.

Siguiendo con las culturas, podemos seguir con la que en el futuro le partirá la cara a Schwarzenegger: los terminators. Todas las máquinas y robots, desde la cafetera de la abuela hasta Wall-E, pasando por HAL 9000, Roboto o el Deep Blue que tan mal cae a Kasparov, reducen cualquier cifra a combinaciones de dos números: 0 y 1. Esto se conoce como sistema binario. El 1 sería encendido y el 0 apagado, algo muy sencillo que al Neo de Matrix se le traía al pairo. Por otro lado, seres tan bárbaros e incivilizados como los orcos tienen su propio sofisticado sistema de numeración: unoz, doz, trez... y ya no se saben más. Los hobbits si mantienen el sistema decimal, y los elfos. Al menos podemos asegurarlo hasta la investidura de Aragorn. Para los moradores de las arenas todos son “uxini”, mientras que para los enanos gully los números son como el cocido. De los wookie no tengo indicios de que sepan contar. Y lo dejo ya que voy a acabar peor que el auténtico creador de los sistemas numéricos: el Conde de Barrio Sésamo.

¿Qué peso tuvo esto en su desarrollo?

Esta pregunta no la entiendo muy bien, en concreto a qué hace referencia el “esto”. Actualizo: han pasado más de 24 horas y mi empanada mental ha desaparecido. Entiendo que “esto” se refiere a qué peso ha tenido cada sistema de numeración en cada cultura. Pues es de esperar que mucho, tanto como el idioma. Henri Poincaré llegó a decir que “todo saber tiene de ciencia lo que tiene de Matemáticas”, y ciertamente la Lógica y las Matemáticas son esenciales para el progreso. Sin números no se podrían hacer cálculos, y sin cálculos no se podrían hacer simulaciones, ni análisis, ni pruebas... No diré que estaríamos seriamente estancados, pero sí muy limitados. Es como si perdiéramos el habla, aún podríamos comunicarnos, pero de un modo menos eficaz, y la humanidad siempre ha buscado lo más efectivo. De hecho, en la Teoría de la Mecánica Cuántica el uso de números se hace insuficiente, y ya se ven necesitados de echar mano a los colores (id a una conferencia de Mecánica Cuántica, te ponen esquemas que son peor que Los Teletubbies). No es de extrañar por tanto que en el futuro la ciencia use números con otras notaciones como polígonos, fractales o vete a saber qué. En realidad no hay una única vía de progreso, pero hemos elegido la que nos dan los números, y ha sido una elección hecha independientemente por muchas culturas y en diferentes épocas. ¿Os aburro con este rollazo? Venga, suena la música de John Williams. Mano al pecho: El avance de nuestra especie se basa en el método científico, y éste en última instancia no es más que observación, ideas y cálculos, todos cooperando hacia un mañana lleno de esperanza (ahora es cuando tiene que enfocarse la bandera americana).

Volviendo al tema, se piensa que cualquier civilización inteligente de este universo necesitaría crear sus propias Matemáticas para progresar, y cuando digo cualquier civilización inteligente también estoy incluyendo a los Snorkel. Tal es así, que Charlton Heston en El Planeta de los Simios se comunicó haciendo el conocido desglose de triángulos que prueba el teorema de Pitágoras. Después vio que los simios podían hablar como él y se dio cuenta de que había hecho el vaina.

Ciertamente, aunque distintas culturas adoptaron sistemas de numeración propios, en todos ellos hay un método común que consiste en cambiar el símbolo o su posición al alcanzar un cierto valor. Luego añaden nuevas unidades hasta que se repite dicho valor, entonces se agrega otro símbolo. Y fueron a llamar a otro elefaaante... Igualmente, muchas culturas usaron símbolos distintos para los números de uno a nueve, la mayoría de las veces las primeras nueve letras de sus alfabetos. Cuando no había suficientes letras se echaba mano de... más letras. ¿No es esto bonito, ver a toda la humanidad aprendiendo a contar? No, no lo es.

El meter tantas letras dio lugar a confusión con las palabras, y se nota sobre todo en La Biblia, donde cualquier hijo del vecino ha intentado encontrarle tres pies al gato. Yo mismo quise ver qué ponía en Apocalipsis, capítulo 3, versículos 14 a 15 (el número pi empieza como 3,1415) y estaría muy sorprendido si no hubiese nadie que haya intentado ver qué se lee en el Génesis después de que las páginas estén untadas de mayonesa a la luz de la Luna bajo un abeto de Canadá. El ejemplo más conocido es el pasaje de San Juan donde se mencionan seiscientas sesenta y seis bestias, ¡Ea, y por eso ya esa cifra está maldita! ¿Pero luego quién le hace ascos a seiscientos sesenta y seis euros?

También es notable el hecho de que los sistemas más antiguos se basen en el 5, el 10 ó el 20, que mira por donde se corresponden con los dedos de una mano, los diez de ambas o los veinte si se añaden los pies (los indios Tamanacos usaban las mismas palabras para decir “veinte” y “un indio” o “sesenta” y “tres indios”, etc). Aun hoy, nuestros amigos franceses hacen referencia al sistema vigesimal cuando a ochenta lo llaman quatre vingts (cuatro veintes). Qué dificilitos son, mon ami. No obstante, nosotros no somos mucho más avanzados. Cuando hablamos de dígitos hacemos algo similar, ya que dígito deriva de dedo en latín.

Y nuevamente nos vamos a la fantaciencia para mirar más allá de nuestro sistema solar. Resulta que esta relación de números con dedos ha inspirado a autores de ciencia ficción (atento, Akhul) el poner sistemas de numeración extraterrestres o intraterrestres en base al número de dedos que tengan los marcianitos. Así, Superman no lo tuvo muy difícil para adaptarse al nuestro, pero Yoda usaría un sistema... ¿triemal?

No todas las culturas se fueron por las bases que dan el 5, 10 o 20, hay excepciones. Siempre las hay. Algunos optaron por un sistema de base 4, como la tribu Yuki de California, mientras que un sistema de base 7 fue elegido por la tribu africana de los Bolas (os juro que se hacen llamar así) y otro de base 11 por los Maoríes.

¿Es cierto que el uso de cifras arábigas fue el que permitió el desarrollo moderno de la ingeniería y las ciencias relacionadas?

La invención del sistema de numeración arábigo se considera uno de los avances más significativos de las Matemáticas. Es importante tener presente que un número no es como comúnmente se piensa el 4, el 3 ó el 544. Ésos son numerales (símbolos), mientras que el número es la noción que tenemos de esa magnitud. Se puede decir tres, pero tres qué, ¿pepinos, estornudos o palabras esdrújulas?

Ahora el sistema decimal está tan establecido no parece que se vaya a cambiar por otro. Eso será cuando los pulpos nos esclavicen y nos impongan su sistema octal (por sus ocho tentáculos). Pero antes de que eso pase, algunos plantean un sistema duodecimal (de base 12) que según he probado tiene sus gracias, como que su base tiene cuatro divisores frente a los dos que tenemos con la de ahora. Por otra parte, bases de números primos como 11, propuestas ya en el siglo XVIII por el extraordinario Lagrange, dan otras ventajas que solamente apreciarían especialistas en Teoría de Números, una teoría que aunque no lo parezca detesto bastante, y está muy alejada de todo lo que hemos hablado aquí. Ay, antes de que empiece a patalear, mejor lo dejo. ¿Un brindis?

Envíenme dudas, o escribiré OcioCiencias de lo que me dé la gana, y eso puede ser muy peligroso, jo, jo. ¡Silencio! Ah, por cierto, Akhul tengo una curiosidad para ti: los cuervos son capaces de contar hasta 7. Más info en The Brain of Birds, de Laurence Jay Stettner y Kenneth A. Martyniak.