El último teorema de Fermat

El que se ha llamado “príncipe de los matemáticos aficionados”, Pierre de Fermat, nos dejó un teorema en el margen de un libro. Un teorema que tardaría más de 300 años en demostrarse.

Vámonos a principios del siglo XVII, a la ciudad francesa de Beaumont de Lomagne. Es aquí donde nacerá un abogado hijo de un comerciante en pieles. Nada especial, ¿verdad? Cierto, pero lo que nadie iba a imaginar es que este abogado en su tiempo libre lanzaría una serie de retos que iban a mantener en jaque a toda la comunidad matemática. ¿Su nombre? Pierre de Fermat.

Su vida fue tranquila y laboriosa, con lo que se puede fácilmente resumir. Tras estudiar en Toulouse, poco se sabe de sus siguientes años, pero los descubrimientos posteriores debieron de ser brillantes. Es a este hombre a quien corresponde una de las más preclaras historias en la historia de las Matemáticas.

Sin miedo a exagerar se puede decir que al menos estaba al nivel de Newton como matemático puro, pese a ser, en el estricto sentido, un aficionado. Sin ir más lejos, participó con Blaise Pascal en la creación de la teoría matemática de la probabilidad.

Vamos a meternos ya en faena. Uno de sus famosos descubrimientos respecto a los números, llamado Teorema de Fermat, es considerado por algunos como el resultado más bello de toda su obra. Dice así: “todo número primo de la forma 4xn + 1 es suma de dos cuadrados” El papel de n aquí es el de representar cualquier número natural, esto es, 1, 2, 3... Veámoslo con un ejemplo. Tenemos que 37 es 4x9 + 1, de modo que 37 debe ser la suma de dos enteros al cuadrado. En efecto: 37 = 1 + 36 = 1**2 + 6**2. Además, no hay otros enteros cuya suma de cuadrados dé 37. Simple y hermoso, ¿eh? Como en casi todos sus trabajos, Fermat no dio la prueba de este teorema, pero describe el ingenioso método que inventó para este resultado.

Pero si vamos a hablar de sus trabajos matemáticos, entonces será mejor que nos vayamos a por uno de los problemas más duraderos de las Matemáticas, que por supuesto es de su autoría: El Último Teorema de Fermat.

Era costumbre de Pierre de Fermat al leer el Artimética de Diofanto, el más grande algebrista griego, el apuntar los resultados de sus meditaciones en sus márgenes. En una de esas anotaciones iba a escribir una frase que se convertiría en una de las más atractivas de la historia de las Matemáticas que se conoce como su último teorema. Ahí va: “no existen soluciones enteras para xn + yn = zn cuando n es mayor que 2”.

Si n lo cambiamos por 2 veremos que este enunciado es el famosísimo teorema de Pitágoras que todos hemos visto en el cole. Pero lo más misterioso de todo es que Fermat además afirma que ha descubierto “una demostración maravillosamente exacta, pero este margen es demasiado estrecho para desarrollarla”.

La dichosa estrechez del margen (por no decir otra cosa) ha dado muchos quebraderos de cabeza a los mejores matemáticos durante más de 350 años. En este arduo viaje el primer paso fue dado por el propio Fermat, quien lo probó para el caso n = 4. Posteriormente el matemático más prolífico de todos los tiempos, el suizo Leonhard Euler, lo demostró para n = 3, llegando a la conclusión de que sólo sería necesario probar el teorema para los números primos, ya que todo número se puede expresar como producto de primos. Nada más relevante pasaría hasta que, entre los siglos XVIII y XIX, Dirichlet, un gran discípulo del gran Gauss, y el francés Legendre lo demostraran para n = 5 y n = 14. Catorce años después es Gabriel Lamé, uno de los impulsores de la Geometría Diferencial, quien lo consigue para n = 7 simultáneamente a Cauchy, el primero de los grandes matemáticos franceses. Como se trataba de números imaginarios, el alemán Kummer mostró que eso no se cumplía en este caso. En particular para n = 37, 59, y 67 no pudieron probarlo. Sin embargo la demostración podía arreglarse, aunque sólo para números menores de 100, según vio una de las pocas mujeres matemáticas del siglo XVIII, Sophie Germain, bajo el seudónimo de monsieur Leblanc, ya os imaginaréis por qué... Y de esta forma es como termina esta “etapa clásica” de la demostración del teorema de Fermat.

El problema se retoma en 1975, cuando el inglés Andrew Wiles, haciendo su doctorado, comienza a estudiar curvas elípticas buscando soluciones. Así pues, las curvas elípticas se convirtieron en el objetivo de su estudio aunque admitió que Fermat siempre estuvo en sus pensamientos. Para esta época, Goro Shimura y Yutaka Taniyama estudian un problema de simetrías de formas modulares (suena raro, y lo es). Este problema nada tiene que ver con el anterior. Bueno, eso en principio, porque en 1986 Ken Ribet prueba que si se demostrase la conjetura de Taniyama y Shimura, el teorema de Fermat quedaría probado. El propio Wiles recuerda este hecho: “Fue una tarde al final del verano de 1986 en que estaba tomando un té helado en casa de un amigo. En medio de una conversación me dijo que Ken Ribet había probado el nexo entre Taniyama-Shimura y el último teorema de Fermat. Fue como una descarga eléctrica. En aquel momento supe que el curso de mi vida iba cambiar”.

De esta manera fue como, entre 1984 y 1995, Wiles trabajó en casa solo y ocultó a sus colegas el propósito de sus investigaciones. Guardaba las apariencias como profesor de la Facultad con los cursos habituales. Era el típico profesor de día, y un obseso del teorema de Fermat de noche. Guay.

El 21 de junio dio su primera conferencia. La única información que había dado a los organizadores era que necesitaba tres días “y que iba sobre la demostración de cierto teorema”. Ahí, con disimulo. Durante la primera conferencia sentó las bases de su razonamiento hacia la conjetura Taniyama-Shimura, y al final de la conferencia empezaron los rumores de que algo importante se avecinaba.

El número de asistentes de la segunda conferencia fue mayor. Durante su transcurso quedó claro que el objetivo era atacar la conjetura. Al final de la segunda conferencia, los e-mails y los rumores volaron pero nadie sabía hasta dónde llegarían esos logros. Andrew tampoco quería anticipar nada e invitaba a todos a que volvieran al día siguiente.

Para la tercera conferencia la audiencia estaba preparada para lo mejor. Entre los asistentes se encontraban doscientos de los mejores matemáticos del mundo, y los estudiantes llenaban los pasillos de la sala agolpándose en la puerta para poder contemplar ese momento. Wiles comenzó su última exposición. Ken Ribet recuerda que llegó pronto con su cámara de fotos lista y que “la atmósfera estaba muy cargada y la gente muy excitada. Ciertamente teníamos la sensación de participar en un momento histórico”.

Al final de la conferencia, cuando todo había sido explicado, Andrew Wiles se acercó lentamente a la pizarra y escribió la fórmula de Fermat: xn + yn = zn. Luego añadió: “creo que lo dejaré aquí”. El público por un momento quedó en silencio sin comprender nada. Algunos, al repasar todo lo escrito en la pizarra, empezaron a quedar boquiabiertos de asombro. Luego todos los asistentes comenzaron a aplaudir.

Sería en 1993 cuando, en un artículo de 98 páginas publicado en Annals of mathematics, Andrew Wiles demostrara formalmente el Teorema de Taniyama y Shimura y, así, ¡al fin se había probado el Último Teorema de Fermat! Sin embargo, al revisar esos resultados se encontró un error. Sí, qué mala suerte... El propio Wiles anunció que podría arreglarlo y, tras un año de intensivo estudio, finalmente consiguió su objetivo con un trabajo que ocupaba 122 páginas. Esto le hizo valedor del premio Wolfskehl (una cierta cantidad de dinero dejada por el propio Wolfskehl en su testamento) y llegó a ser portada del New York Times.

Desde mi punto de vista, lo que desarrolla el teorema es algo demasiado largo de probar, aunque también es algo que cualquier estudiante de secundaria puede comprender y que Fermat presumía de haber resuelto con “una demostración realmente notable”. ¿Acaso la demostración de Wiles es peor que la de Fermat? Según el matemático inglés, que descubrió el problema a la temprana edad de diez años, “Fermat nunca demostró su teorema”. Y yo secundo esa idea, aunque en realidad es todo pura especulación de un hecho que queda como un enigma más de los que hay en Matemáticas y que, en este caso, parece que nunca podremos resolver. Sea como fuere, con esas 122 páginas se puso final a una historia que había durado más de tres siglos.